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Movimiento en el plano con velocidad constante

Por: wilfridogomez | Publicado: 28/03/2012 03:59 | | #Cont:1

Movimiento en el plano con velocidad constante


Un objeto puede moverse en un plano de muchas maneras diferentes, pero aquí sólo se considera el caso de Movimiento en un Plano con velocidad constante . Ejemplos de nadadores, botes, barcas, lanchas, canoas que atraviesan un río o aviones que deben enfrentar vientos laterales, transversales o frontales son algunos casos prácticos de aplicación para comprender la importancia de este movimiento y señalar la relación entre la velocidad de un objeto determinado por un observador fijo y la velocidad del mismo objeto, pero indicada por otro observador que se mueve respecto al primero.

¿Por qué observadores en diferentes marcos de referencias pueden medir distintos desplazamientos y velocidades? ¿Cómo los puntos de vista de diferentes observadores en distintos marcos de referencia se relacionan entre sí? Son algunos de los interrogantes a resolver en la Velocidad Relativa.

Movimiento y sistema de referencia


El movimiento relativo de objetos y la comparación de velocidades entre marcos o sistemas de referencias son conceptos básicos en la navegación marina, aérea y espacial. Para una partícula en movimiento, observadores ubicados en sistemas de referencias diferentes medirán valores distintos de las variables cinemáticas, aunque el movimiento es el mismo. Se afirma que el sistema de referencia es la base a la cual se refiere un fenómeno físico.
Por ejemplo, los antiguos astrónomos utilizaban un sistema de referencia geocéntricos (con centro en la Tierra) para estudiar el sistema planetario y obtenían orbitas muy complicadas. Cuando Copérnico y Kepler refirieron el movimiento de los planetas a un sistema de referencia heliocéntrico (es decir, colocado en el Sol), la descripción del movimiento planetario se hizo mucho más sencilla.Para describir el movimiento, el observador debe definir un sistema de referencia en relación con el cual analiza el movimiento. La posición, el desplazamiento y la velocidad se relacionan estrechamente en un sistema de referencia. La velocidad de un cuerpo, así como su posición, debe describirse con referencia al origen de un sistema de coordenadas. Generalmente se toma que este origen está fijo en algún otro cuerpo, pero este segundo cuerpo puede estar en movimiento relativo con un tercero, etc.

El Movimiento Relativo
Para describir el Movimiento Relativo es necesario obtener una relación matemática general, que permita determinar como están relacionadas las velocidades. Considere una partícula A que se mueve con respecto a un sistema de referencia de origen O' , y que, a su vez, este sistema de referencia se mueve también con respecto a otro sistema de origen O que se toma como fijo. Sea , el vector de posición de la partícula A en el sistema O' y sea el vector de posición del punto O .


El desplazamiento de A relativo al sistema de origen O es igual a la suma vectorial de los vectores de posición de la partícula A relativos al sistema móvil y fijo. Es indudable que el tiempo t que transcurre es el mismo de ambos sistemas, luego dividiendo la relación:


De esta expresión se puede obtener la velocidad de la partícula.

y concluir que, la velocidad medida en el sistema de referencia fijo es igual a la velocidad respecto al sistema de referencia móvil más la velocidad del sistema móvil respecto al sistema de referencia fijo. Esta ecuación se conoce como la transformación galileana de las velocidades


Así la velocidad puede descomponerse en componentes; e inversamente un cierto número de velocidades puede componerse en una velocidad resultante. Cuando los observadores se encuentran en movimiento relativo, asignan diferentes velocidades a una partícula. Estas velocidades difieren siempre en la velocidad relativa de los dos observadores, que en este caso es una velocidad constante. Cuando la velocidad de la partícula cambia, se deduce entonces que el cambio será el mismo para ambos observadores. Por consiguiente, ambos determinan la misma aceleración para la partícula A (Aceleración en el movimiento relativo)


Por ejemplo, un avión encuentra generalmente un viento que se está moviendo con respecto a un observador en la tierra, un barco de motor en un río se está moviendo en medio de una corriente, pero el agua se está moviendo con respecto a un observador en la orilla. En casos como los anteriores, la magnitud de la velocidad del objeto móvil (El avión o el barco de motor) con respecto al observador en tierra no será igual que la lectura del velocímetro del vehículo. El movimiento está enfocado al observador. El observador en la tierra, mide una velocidad diferente al de una persona en el barco.
Marco de referenciaUn marco de referencia es el fundamento para describir la posición y el movimiento de los objetos. Tiene un punto específico, el origen, con respecto al cual se miden las posiciones de todos sus demás puntos y un sistema de coordenadas adecuado para describir la ubicación y el movimiento de un cuerpo.


Se utilizan ejes coordenados con direcciones naturalmente perpendiculares NORTE-SUR-ESTE-OESTE.

El concepto de velocidad relativa tiene una gran aplicación dentro de los movimientos en un plano por eso es importante ilustrar algunas reglas:

Regla 1
Escribir cada velocidad con un doble subíndice en el orden adecuado.

Regla 2
El vector de la suma vectorial de las velocidades relativas queda representado por la primera letra del subíndice de la primera velocidad y la segunda letra del subíndice de la segunda velocidad.

Regla 3
Cualquiera de las velocidades relativas en una ecuación puede trasponerse de un miembro a otro con el signo cambiado.

Regla 4
La velocidad de un cuerpo A respecto al cuerpo B,, es la opuesta de la velocidad del B respecto a A, .

Composición de movimientos


Si una partícula está sometida simultáneamente a varios movimientos elementales independientes, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente dichos movimientos parciales. Para aplicar este principio se suman por separado posiciones, desplazamientos, velocidades y aceleraciones.



El principio de superposición está basado en el principio de independencia de Galileo: Cuando un punto está dotado de dos movimientos simultáneos, su cambio de posición es independiente de que los dos movimientos actúen sucesiva o simultáneamente.
Una lancha atraviesa un río en dirección perpendicular a la corriente. Si la corriente no existe, la lancha navega en aguas tranquilas, por lo que parte de un punto O se moverá respecto al agua a una velocidad constante (Con el subíndice L se designa la Lancha y con el subíndice A el agua). Al cabo de un tiempo t la lancha habrá realizado un desplazamiento respecto al agua, que viene dado por: Si la lancha apaga el motor quedará sometido al movimiento del agua, la cual se desplaza respecto a la Tierra con velocidad constante que se designa por (Con el subíndice A se designa el agua y con el subíndice T la Tierra). Se tendrá entonces que el tiempo t, la lancha habrá realizado un desplazamiento aguas abajo que viene dado
por:

Si los dos movimientos actúan simultáneamente se tendrá que la lancha, a la vez se mueve perpendicularmente a la corriente con su propia velocidad , también se mueve en el sentido de la corriente con velocidad . Cada uno de los movimientos actúa separadamente como si el otro no existiera, pero los dos, actuando simultáneamente, originan un movimiento resultante.


Para el anterior caso particular se deducen las siguientes formulas:

Velocidad de la lancha respecto a Tierra
Desplazamiento de la lancha respecto a Tierra es

Las anteriores son sumas vectoriales. Los módulos o magnitudes de y vienen dados por:

Modulo de Velocidad

Modulo de Desplazamiento

Las direcciones de y vienen dadas por:

Tan q =

Tan q =

Efecto de la corriente del río sobre un barco de motor


Si un barco de motor se dirige a través de un río, no alcanzaría la orilla directamente a través de su punto de partida. La corriente del río influye en el movimiento del barco y lo lleva río abajo. Un barco de motor puede moverse con una velocidad de 4 m/seg directamente a través del río. La velocidad resultante del barco será mayor de 4 m/seg y la dirección es un ángulo en sentido descendiente.


Ejemplo

Suponga que el río se mueve con una velocidad de 3 m/seg, al norte y un barco de motor se mueve con una velocidad de 4 m/seg, al este. ¿Cuál sería la velocidad resultante del barco de motor, es decir, la velocidad concerniente a un observador en la orilla?

Solución
La velocidad resultante del barco es la suma de vectores de la velocidad del barco y la velocidad del río. El barco a través del río y la corriente que se dirige siempre río abajo, los dos vectores son perpendiculares el uno al otro. Así, elteorema de Pitágoras se puede utilizar para determinar la velocidad resultante.


El sistema de referencia fijo es la Tierra, el sistema de referencia móvil es el agua y la partícula es el barco.

= 4m / seg

Velocidad del barco (partícula) respecto al agua (móvil); ESTE

= 3m / seg

Velocidad del agua (móvil) respecto a tierra (fijo) ; NORTE
= ? Velocidad del barco (partícula) respecto a tierra (fijo);
(Principio de superposición)

Es conveniente hacer diagrama de vectores de velocidades, que se muestra en el siguiente dibujo.


Los vectores son perpendiculares. La magnitud de la velocidad resultante puede ser encontrada como sigue aplicando el teorema de Pitágoras :



La dirección del resultado es el ángulo a la izquierda de la rotación que el vector resultante hace con el vector al este. Este ángulo se puede determinar usando una función trigonométrica.

tan q = (Opuesto / Adyacente)
tan q = (3 / 4)
q = tan-1 (3 / 4)
q = 36,9 grados

Otro ejemplo
Un bote sale de la orilla de un río y lo intenta atravesar en dirección perpendicular a la corriente. Si la velocidad del bote es 32 m/seg. La velocidad de la corriente es 40 m/seg y el ancho del río es 120 m. Calcular

a) La velocidad del bote respecto a la tierra
b) Tiempo que tarda en atravesar el río
c) ¿Qué distancia se habrá movido río abajo al atravesarlo?
d) El desplazamiento total del bote al atravesar el río
e) La dirección del desplazamiento



= 40 m/seg: Velocidad del agua respecto a tierra;
= 32 m/seg: Velocidad del bote respecto al agua
= Velocidad del bote respecto a Tierra = ?

a) La velocidad del bote respecto a Tierra viene dada por:


y su magnitud:


b) El tiempo que tarda en atravesar el río es el tiempo trascurrido en ir desde “O” hasta A con velocidad constante. = 32 m/seg. Despejándolo de = . t

t = / = 120m /32m/seg
t = 3,75 seg

Este tiempo es independiente de la velocidad de la corriente.


c) La distancia recorrida por el bote río abajo, se calcula a través de la relación

= . t = 40m/seg. 3,75 = 150m


d) El desplazamiento total del bote no es más que la composición de lo dos movimientos calculados cada uno por separado y aplicando luego:


e) La dirección del desplazamiento viene dado por:

q = Tan-1 0,8 q = 38º 39` 35``

Efecto de la corriente de un río sobre un nadador

Un nadador atraviesa un río de ancho 100 m con velocidad de 2 m/seg respecto al agua. Si el nadador se mueve perpendicularmente a la corriente y esta tiene una velocidad de 4 m/seg respecto a Tierra, ¿cuál es, en módulo, la velocidad del nadador respecto a Tierra? Si el nadador emplea un tiempo t = 50 seg en atravesar el río, ¿a qué distancia del punto de partida alcanza la orilla opuesta?

Solución
El sistema de referencia fijo es la Tierra, el sistema de referencia móvil es el agua y la partícula es el Nadador.

= 2 m/seg = Velocidad del nadador (Partícula) respecto al agua (móvil).
= 4 m/seg = Velocidad del agua (móvil) respecto a Tierra (fijo).
= ? = Velocidad del nadador respecto a Tierra.
. (Principio de superposición)

Teorema de Pitágoras


En el tiempo t el desplazamiento del nadador respecto al agua es:


En el tiempo t el desplazamiento del agua respecto a Tierra es:


En consecuencia, si el nadador parte de O , al cabo del tiempo t no se encuentra en P sino en Q , por lo que el desplazamiento del nadador respecto a la Tierra es:


Como y son perpendiculares, el módulo de se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras

= 223,60 m

La dirección q se obtiene de

q = 63º26'

Efecto del viento sobre un avión


Un piloto dirige un avión desde un punto, A , y desea llegar hasta otro, B , en línea recta. Al tomar altura el aparato encuentra corrientes de aire distintas. Los vientos tienen su velocidad de dirección y sentido determinados, la cual hará desviar la máquina de la dirección en que va su velocidad. El piloto ubica geográficamente la dirección, sentido e intensidad del viento para determinar su ruta y ajustarla con la dirección y sentido que desea tener. Es un problema de composición de velocidades.
Este proceso también es válido para mantener los barcos en la ruta correcta .


Ejemplo
Ahora considere un avión que viaja con una velocidad de 120 km/h, al sur que encuentre un viento lateral de 30 km/h, oeste. ¿Cuál es la velocidad resultante del avión?

Solución
La velocidad resultante del avión es la suma de vector de las dos velocidades individuales. Para determinar la velocidad resultante, la velocidad del avión (concerniente al aire) se debe agregar a la velocidad del viento. Los dos vectores que se agregarán - la velocidad del avión hacia el sur y la velocidad del viento que va hacia el oeste - son perpendiculares el uno al otro, el teorema de Pitágoras puede ser utilizado para encontrar el modulo de la velocidad.

El sistema de referencia fijo es la Tierra, el sistema de referencia móvil es el viento y la partícula es el avión.

= 120 Km/h: Velocidad del avión (partícula) respecto al viento (móvil); SUR

= 30 Km/h: Velocidad del viento (móvil) respecto a Tierra (fijo); OESTE

= ? : Velocidad del avión (partícula) respecto a tierra (fijo);


Como y son perpendiculares, el módulo de se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

= 123,69 km/h

La dirección de la velocidad que resulta se puede determinar usando una función trigonométrica seno, coseno o tangente. La función de la tangente puede ser utilizada:

Tan q = (opuesto/adyacente)
Tan q = (30/120)
q = 14º2' SUROESTE
Cuando los vectores no son perpendiculares
Es conveniente utilizar otras propiedades de los triángulos como el caso de las Leyes de Senos y Cosenos


Ejemplo
Un avión debe dirigirse a una ciudad que se encuentra directamente al Norte. Si la velocidad del avión respecto al viento es de 600 km/h y el viento sopla del Sureste con velocidad de 60 Km/h respecto a Tierra. ¿En que dirección debe volar el avión?. ¿Cuál es en módulo la velocidad respecto a Tierra?

Solución
El sistema de referencia fijo es la Tierra, el sistema de referencia móvil es el viento y la partícula es el avión.

= 600 Km/h: Velocidad del avión (partícula) respecto al viento (móvil);

= 60 Km/h: Velocidad del viento (móvil) respecto a Tierra (fijo); Viene del SURESTE

= ? : Velocidad del avión (partícula) respecto a tierra (fijo);

El avión debe volar en una dirección tal que la resultante de la del avión respecto al viento, más la velocidad del viento respecto a la Tierra, tenga la dirección Sur-Norte. Como el triángulo ABC no es rectángulo, la dirección ? según la cual debe volar el avión puede determinarse aplicando el teorema del seno al triángulo ABC:


La velocidad del avión respecto a Tierra se obtiene efectuando la suma vectorial:


El módulo de se obtiene aplicando el teorema del coseno al triángulo ABC:


a= 180º - (45º + q) = 130.45º


Efectuando operaciones y tomando la raíz cuadrada se tiene:

= 640,55 Km /h en sentido hacia el norte


Comentarios
maria vivas
maria vivas
muy bueno los ejemplos me ayudo mucho gracias
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